整数格子图上Lane-Emden方程正解的研究

本文研究了 Lane-Emden 方程 $$-\Delta u = Q |u|^{p-2}u$$ 在 $d$ 维整数格子图 $\mathbb{Z}^d$ 上的正解的存在性与不存在性，以及在半空间和象限域中的情况，在后两种情况下施加零Dirichlet边界条件。此处，$d \geq 2$，$p > 0$，$Q$ 表示满足 $Q(x) \sim (1+|x|)^{-\alpha}$ 的 Hardy 型正势，$\alpha \in [0, +\infty]$。我们通过变分方法确定参数对 $(\alpha, p)$ 的Sobolev超临界区域，其中建立了正解的存在性。在相反地，$(\alpha, p)$ 的 Serrin 亚临界区域中，我们通过迭代分析无穷远处的衰减行为，最终导致矛盾，从而证明不存在。值得注意的是，在完整空间和半空间域中，在Sobolev临界线和 Serrin 临界线之间存在一个中间区域，其中正解的存在性仍是开放问题。而在象限域中则不存在这种中间区域。