超临界 Lane-Emden 系统的渐近齐次解

我们考虑 Lane-Emden 系统 $-\Delta u = |v|^{p-1} v$, $-\Delta v = |u|^{q-1} u$（在 $\mathbb{R}^d$ 中）。当 $p \ge q \ge 1$ 时，已知存在正径向稳定解 $(u, v) \in C^2(\mathbb{R}^d)$ 当且仅当 $d \ge 11$ 且 $(p, q)$ 位于或高于文献 [5] 中引入的所谓 Joseph-Lundgren 曲线。本文证明，对于 $d \le 10$，不存在正稳定解（或仅在紧致集外部稳定且 $(p, q)$ 不位于临界 Sobolev 双曲线上）；而对于 $d \ge 11$，若额外假设它们是渐近齐次的（见下文定义 1），Joseph-Lundgren 曲线确实是此类解存在性的分界线。我们的大部分结果是对先前文献工作的最优改进。