稳定 Lane-Emden 系统与双调和问题的 Liouville 定理

我们考察由 {equation} \label{system_abstract} -\Delta u = v^p, \qquad -\Delta v = u^\theta, \qquad \{in} \IR^N, {equation} 给出的椭圆系统，其中 $1 < p \le \theta$，以及四阶标量方程 {equation} \label{fourth_abstract} \Delta^2 u = u^\theta, \qquad \{in $\IR^N$,} {equation}，其中 $1 < \theta$。我们证明了关于正稳定解的各类 Liouville 型定理。例如，我们证明当 $N \le 10$ 且 $2 \le p \le \theta$（对应地，$N \le 10$ 且 $1 < \theta$）时，(\ref{system_abstract})（对应地，(\ref{fourth_abstract})）不存在正稳定解。我们也得到了关于更高维数的结果。这些关于全空间上稳定解的结果蕴含了方程 {equation} \label{eq_half_abstract} -\Delta u = v^p, \qquad -\Delta v = u^\theta, \qquad \{in} \IR^{N-1}, {equation}（在 $\partial \IR^N_+$ 上 $u=v=0$）的正有界（可能不稳定）解的各类 Liouville 定理。特别地，当 $N \le 11$ 时，对于任意 $2 \le p \le \theta$，(\ref{eq_half_abstract}) 不存在正有界解。我们也得到了更高维数的结果。