具奇异非线性的 Lane-Emden 系统及其在 MEMS 中的应用

本文分析 Lane-Emden 系统 \begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{3} -\Delta u = & \, \frac{\lambda f(x)}{(1-v)^2} & \quad \text{in} & \quad\Omega\ -\Delta v = & \, \frac{\mu g(x)}{(1-u)^2} & \quad \text{in} & \quad\Omega\ 0\leq u &, v < 1 & \quad \text{in} & \quad \Omega\ u = v & = \, 0 & \text{on} & \quad \partial\Omega\ \end{alignedat} \right.\tag{$S_{\lambda, \mu}$} \end{equation} 其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 为正参数,$\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ $( N \geq 1)$ 中的光滑有界区域。此处我们证明存在一条临界曲线 $\Gamma$,将 $(\lambda,\mu)\text{-平面}$ 的正象限分为两个不相交的集合 $\mathcal{O}_1$ 和 $\mathcal{O}_2$,使得问题 $(S_{\lambda, \mu})$ 在 $\mathcal{O}_1$ 中具有光滑极小稳定解 $(u_\lambda,v_\mu)$,而对 $(\lambda,\mu)\in\mathcal{O}_2$ 则不存在任何类型的解。我们还建立了临界曲线 $\Gamma$ 的上下估计,以及当 $N\leq 7$ 时该曲线上的正则性结果。我们的证明基于对最大值原理与 $(S_{\lambda, \mu})$ 半稳定解的 $L^p$ 估计的精细结合。