锥型区域上具有临界势的奇异半线性椭圆方程的正解

我们研究在 $\R^N$ ($N\ge 2$) 的锥型区域中,奇异半线性椭圆方程 $$-\nabla\cdot(|x|^A\nabla u)-B|x|^{A-2}u=C|x|^{A-\sigma}u^p$$ 对于全参数范围 $A,B,\sigma,p\in\R$ 且 $C>0$ 的正(超)解的存在性与非存在性。我们给出了使得该方程没有正(超)解的 $(p,\sigma)\in\R^2$ 集合的完整刻画,这取决于 $A,B$ 的值以及锥截面的最小 Dirichlet 特征值。证明基于适当障碍函数的显式构造,并涉及对具有临界势的 Laplace 算子相关联的超调和函数渐近行为的分析、Phragmen--Lindel"of 型比较论证,以及锥型区域上 Hardy 不等式的改进版本。