关于含梯度项的椭圆方程正上解不存在性的一点注记
偏微分方程分析
2018-07-26 v1
摘要
我们证明，若椭圆问题 − Δ u + b ( x ) ∣ ∇ u ∣ = c ( x ) u -\Delta u+b(x)|\nabla u|=c(x)u − Δ u + b ( x ) ∣∇ u ∣ = c ( x ) u c ≥ 0 c\ge0 c ≥ 0 \IR N ≥ 3 \IR^{N\ge 3} \IR N ≥ 3 Ω \Omega Ω c , b c,b c , b ∫ Ω c ϕ 2 ≤ ∫ Ω ∣ ∇ ϕ ∣ 2 + ∫ Ω b 2 4 ϕ 2 , ϕ ∈ C c ∞ ( Ω ) . \sqrt{ \int_\Omega c\phi^2}\le \sqrt{ \int_\Omega | \nabla\phi|^2}+\sqrt{ \int_\Omega \frac{b^2}{4}\phi^2},~~~\phi \in C_c^\infty(\Omega). ∫ Ω c ϕ 2 ≤ ∫ Ω ∣∇ ϕ ∣ 2 + ∫ Ω 4 b 2 ϕ 2 , ϕ ∈ C c ∞ ( Ω ) . c ( x ) − b 2 ( x ) 4 > 0 c(x)-\frac{b^2(x)}{4}>0 c ( x ) − 4 b 2 ( x ) > 0 ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ lim inf ∣ x ∣ → ∞ c ( x ) − b 2 ( x ) 4 = 0 \liminf_{|x|\rightarrow\infty}c(x)-\frac{b^2(x)}{4}=0 lim inf ∣ x ∣ → ∞ c ( x ) − 4 b 2 ( x ) = 0 b b b c c c τ : = lim sup ∣ x ∣ → ∞ ∣ x b ( x ) ∣ < ∞ \tau:=\limsup_{|x| \rightarrow\infty}|xb(x)|<\infty τ := lim sup ∣ x ∣ → ∞ ∣ x b ( x ) ∣ < ∞ lim inf ∣ x ∣ → ∞ ∣ x ∣ 2 c ( x ) > ( N − 2 + τ ) 2 4 , \liminf_{|x| \rightarrow\infty}|x|^2c(x)> \frac{(N-2+\tau)^2}{4}, ∣ x ∣ → ∞ lim inf ∣ x ∣ 2 c ( x ) > 4 ( N − 2 + τ ) 2 , τ = ∞ \tau=\infty τ = ∞ lim sup R → ∞ R ( inf R < ∣ x ∣ < 2 R ( c ( x ) − b ( x ) 2 4 ) sup R 2 < ∣ x ∣ < 4 R ∣ b ( x ) ∣ ) = ∞ . \limsup_{R\rightarrow\infty} R\Big(\frac{ \inf_{R<|x|<2 R} (c(x)-\frac{b(x)^2}{4})}{\sup_{\frac{R}{2}<|x|<4 R}|b(x)|}\Big)=\infty. R → ∞ lim sup R ( sup 2 R < ∣ x ∣ < 4 R ∣ b ( x ) ∣ inf R < ∣ x ∣ < 2 R ( c ( x ) − 4 b ( x ) 2 ) ) = ∞.
引用
@article{arxiv.1807.09727,
title = {A note on the nonexistence of positive supersolutions to elliptic equations with gradient terms},
author = {A. Aghajani and C. Cowan},
journal= {arXiv preprint arXiv:1807.09727},
year = {2018}
}