高于高阶临界指数的超临界椭圆问题的正解与节点单层解
偏微分方程分析
2017-03-08 v1
摘要
我们研究问题 -Δv+λv=|v|^{p-2}v 在 Ω 中，v=0 在 ∂Ω 上，其中 λ∈ℝ，p 为超临界指数，区域 Ω 形如 Ω:={(y,z)∈ℝ^{N-m-1}×ℝ^{m+1}:(y,|z|)∈Θ}，这里 m≥1，N-m≥3，Θ 是 ℝ^{N-m} 中的有界区域，其闭包包含于 ℝ^{N-m-1}×(0,∞)。在 Θ 满足某些对称性假设下，我们证明对于包含 [0,∞) 的某个区间中的每一个 λ，以及 p>2 直至某个大于第 (m+1) 临界指数 2*_{N,m}:=2(N-m)/(N-m-2) 的数，该问题有无穷多个解。我们还展示了一类带有收缩孔的区域，其中存在一个正解和一个节点解，它们集中在一个球面上，形成一个单层，当孔收缩且 p 从上趋于 2*_{N,m} 时，该单层在包含于 Ω 边界内的一个 m 维球面上爆破。正解在垂直于集中球面方向的极限轮廓是标准气泡的重新标度，而节点解的极限轮廓则是问题 -Δu=|u|^{2*_n-2}u，u∈D^{1,2}(ℝ^n) 的一个非径向变号解的重新标度，其中 2*_n:=2n/(n-2) 是 n 维临界指数。
关键词
引用
@article{arxiv.1703.02257,
title = {Positive and nodal single-layered solutions to supercritical elliptic problems above the higher critical exponents},
author = {Monica Clapp and Matteo Rizzi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.02257},
year = {2017}
}