关于局域化地形临界点的注记

设 $\Omega\subset\mathbb{C}$ 为有界域。在本注记中，我们使用复变方法研究函数 $v=v_\Omega$ 的临界点个数，该函数求解椭圆问题 $\Delta v = -2$（在 $\Omega$ 内），边界条件为 $v=0$（在 $\partial\Omega$ 上）。该问题具有经典意味，但尤其受近期关于本征函数局域化的研究推动。当 $\Omega$ 属于平面中一类特殊域，即边界 $\partial\Omega$ 包含于 $\{z:|z|^2 = f(z) + \overline{f(z)}\}$ 中（其中 $f'(z)$ 为有理函数）时，我们给出 $v$ 临界点个数的上界。我们给出该界可达的域的实例。我们还证明了当 $\Omega$ 为求积域时临界点个数的一个界，并在注记结尾提出一些开放问题与猜想。