多连通域内一类线性椭圆方程解的临界点

本文主要研究 $\mathbb{R}^2$ 中多连通域 $\Omega$ 内一类具有非齐次 Dirichlet 边界条件的线性椭圆方程解 $u$ 的临界点与临界零点。基于对某些 $t$ 的上水平集 $\{x\in \Omega: u(x)>t\}$ 与下水平集 $\{x\in \Omega: u(x)<t\}$ 连通分支分布的精细分析，我们得到了 $u$ 的内部临界点集的几何结构。确切地说，设 $\Omega$ 为具有内边界 $\gamma_I$ 与外边界 $\gamma_E$ 的多连通域，其中 $u|_{\gamma_I}=\psi_1(x),~u|_{\gamma_E}=\psi_2(x)$。当 $\psi_1(x)$ 与 $\psi_2(x)$ 分别在 $\gamma_I$ 与 $\gamma_E$ 上有 $N_1$ 和 $N_2$ 个局部极大点时，我们推得 $\sum_{i = 1}^k {{m_i}}\leq N_1+ N_2$，其中 $m_1,\cdots,m_k$ 为 $u$ 的内部临界点 $x_1,\cdots,x_k$ 各自的重数。此外，当 $\min_{\gamma_E}\psi_2(x)\geq \max_{\gamma_I}\psi_1(x)$ 且 $u$ 在 $\gamma_I$ 与 $\gamma_E$ 上分别仅有相对于 $\overline{\Omega}$ 的 $N_1$ 和 $N_2$ 个相等的局部极大值时，我们发展了一种新方法来证明以下三种结果之一成立：$\sum_{i = 1}^k {{m_i}}=N_1+N_2$，或 $\sum_{i = 1}^k {{m_i}}+1=N_1+N_2$，或 $\sum_{i = 1}^k {{m_i}}+2=N_1+N_2$。进而，我们考察了 $u$ 的内部临界零点的几何结构。我们得到 $u$ 的内部临界零点的重数之和小于或等于其边界上孤立零点个数的一半。