具有预定边界条件的椭圆方程的临界点

本文研究在具有预定边界条件的有界区域 $X$ 上，形如 $\nabla\cdot \sigma(x)\nabla u=0$ 的二阶椭圆方程解的临界点存在性。在空间维数 $n=2$ 时，已知临界点（即 $\nabla u=0$ 处）的数目与边界条件的振荡数目有关，而与（正的）系数 $\sigma$ 无关。我们证明在维数 $n\geq3$ 时情况有所不同。更确切地说，我们得到：对于 $u$ 在 $\partial X$ 上的任意固定（Dirichlet 或 Neumann）边界条件，都存在一个由光滑系数 $\sigma(x)$ 构成的开集，使得 $\nabla u$ 在 $X$ 中至少一点处为零。利用与混合边界条件下 Laplace 算子相关的估计，该结果首先对具有无限对比度的分段常数电导率成立，这是一个具有独立意义的问题。第二步表明，对于适当的、有界的、足够高对比度的光滑系数 $\sigma(x)$，子区域上矢量场 $\nabla u$ 的拓扑结构不被改变。这些结果可应用于混合反问题类，其中在不存在临界点的情况下可获得参数重构的最优稳定性估计。我们的结果表明，对于任意（有限数量的）预定边界条件，都存在使得重构稳定性不可避免地下降的系数 $\sigma(x)$。