具有临界增长与大量边界奇点的椭圆方程

我们变分性地求解某些恒星动力学方程，其形式为 $-\sum_i\partial_{ii} u(x) =\frac{|u|^{p-2}u(x)}{{\rm dist} (x,{\mathcal A} )^s}$，其中 ${\mathcal A}$ 是 $\rn$ 的一个真线性子空间。存在性问题与如下近期 Badiale-Tarantello [1] 不等式中最佳常数是否可达有关：$$0<\mu_{s,\P}(\Omega)=\inf{\int_{\Omega}|\nabla u|^2 dx; u\in \huno \hbox{and}\int_{\Omega}\frac{|u(x)|^{\crit(s)}}{|\pi(x)|^s} dx=1}$$ 其中 $0<s<2$，$\crit(s)=\frac{2(n-s)}{n-2}$，$\pi$ 为到线性空间 $\P$ 的正交投影，且 $\hbox{dim}_{\rr}\P \geq 2$。我们研究这一问题，以及它如何依赖于子空间 $\Porth$（即 $\P$ 的正交补）相对于区域 $\Omega$ 的位置，还有边界 $\partial\Omega$ 在其与 $\Porth$ 交点处的曲率。