对称域中含 Hardy 项的轻微次临界椭圆问题的多泡节点解

我们考虑如下含 Hardy 项的轻微次临界椭圆问题：$$\left\{ \begin{aligned} -\Delta u-\mu\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-\epsilon}u &&\quad \text{in } \Omega\subset\mathbb{R}^N, \\ u &= 0&&\quad \text{on } \partial \Omega, \end{aligned} \right.$$ 其中 $0\in\Omega$ 且 $\Omega$ 在子群 $SO(2)\times\{\pm E_{N-2}\}\subset O(N)$ 下不变；这里 $E_n$ 表示 $n\times n$ 单位矩阵。若 $\mu=\mu_0\epsilon^\alpha$，其中 $\mu_0>0$ 固定且 $\alpha>\frac{N-4}{N-2}$，文献 \cite{BarGuo-ANS} 已证明存在节点解，当 $\epsilon\to0^+$ 时，该解在原点正爆破解，并在一般有界域中的另一点负爆破解。迄今尚未发现具有两个以上爆破解点的解。本文中，我们获得了具有一个在原点正爆破解点和 $k=2$ 或 $k=3$ 个对称放置在原点周围 $\Omega\cap(\mathbb{R}^2\times\{0\})$ 中的负爆破解点的节点解的存在性，前提是某个函数 $f_k:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+\times I\to\mathbb{R}$ 具有稳定临界点；这里 $I=\{t>0:(t,0,\dots,0)\in\Omega\}$。若 $\Omega=B(0,1)\subset\mathbb{R}^N$ 是以原点为中心的单位球，我们得到 $k=2$ 且 $N\ge7$，或 $k=3$ 且 $N$ 足够大时的两个解。该结果在以下意义下是最优的：对于 $\Omega=B(0,1)$，不可能存在一个在原点正爆破解点和四个位于以原点为中心的正方形顶点上的负爆破解点的解。令人惊讶的是，在 $\Omega=B(0,1)$ 上确实存在一个在原点正爆破解点和四个位于正方形顶点上、正负号交替的爆破解点的解。本文的结果表明，上述问题的爆破解集的结构呈现出迷人的特征，且尚未被充分理解。