若干椭圆问题解的节点集：次线性方程与不稳定两相膜问题

我们关注如下形式方程的解的节点集\n\begin{equation*} -\Delta u = \lambda_+ \left(u^+\right)^{q-1} - \lambda_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}\n其中 $\lambda_+,\lambda_- > 0$，$q \in [1,2)$，$B_1=B_1(0)$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的单位球，$N \ge 2$，且 $u^+:= \max\{u,0\}$、$u^-:= \max\{-u,0\}$ 分别为 $u$ 的正部与负部。此类方程包含\emph{不稳定两相膜问题}（$q=1$）以及 $1<q<2$ 时的\emph{次线性}方程。我们证明以下主要结果：(a) 每一点处消失阶的有限性以及阶谱的完整刻画；(b) 弱非退化性质；(c) 任意解节点集的正则性：节点集是余维数为一的常规流形的局部有限集合，至多带一个 Hausdorff 维数不超过 $N-2$ 的剩余奇异集（当 $N=2$ 时局部有限）；(d) 部分分层定理。最终，节点集的主要特征与线性（或超线性）方程解的特征严格相关，但有两个显著区别。首先，可容许的消失阶不能超过临界值 $2/(2-q)$。在临界处，我们发现齐次解的多重性，导致无法用消失阶估计解节点集的 $(N-1)$ 维测度。证明基于一个双参数 Weiss 型泛函族的单调性公式、爆破论证以及齐次解的分类。