“断裂”拟线性偏微分方程的节点集

我们研究具有非线性传导部分的椭圆型拟线性方程解的节点集的局部行为，方程为 \begin{equation*} \operatorname{div}(A_s(x,u)\nabla u)=\operatorname{div}{\vec f}(x), \end{equation*} 其中 $A_s(x,u)$ 具有 $s\geq 0$ 阶的“断裂”导数，例如 \begin{equation*} A_s(x,u) = a(x) + b(x)(u^+)^s, \end{equation*} 其中 $(u^+)^0$ 理解为 $\{u>0\}$ 上的特征函数。向量 ${\vec f}(x)$ 在 $s=0$ 时假设为 $C^\alpha$，在 $s>0$ 时假设为 $C^{1,\alpha}$（或更高）。利用几何方法，我们得到了关于节点集行为的几乎完整的结果（与标准偏微分方程类似）。更确切地说，我们证明了解具有（线性）非退化性的节点集是局部光滑图。退化点被证明具有遵循调和函数及一般偏微分方程节点集论证思路的结构。