奇异性扰动与均匀化的一般方法 I：拟线性 ODE 系统

我们考虑形如 $a(x,x/\varepsilon,u(x),u'(x))'= f(x,x/\varepsilon,u(x),u'(x))$（$x \in [0,1]$）的散度型拟线性二阶 ODE 系统边值问题的周期均匀化。对于小 $\varepsilon>0$，我们证明弱解 $u=u_\varepsilon$ 的存在性，以及当 $\|u-u_0\|_\infty \approx 0$ 时的局部唯一性，其中 $u_0$ 是均匀化边值问题的给定非退化解，并且我们描述了当 $\varepsilon \to 0$ 时均匀化误差 $\|u_\varepsilon-u_0\|_\infty$ 趋于零的收敛速率。特别地，我们证明该速率依赖于映射 $a(\cdot,y,u,u')$ 与 $f(\cdot,y,u,u')$ 的光滑性。我们的假设大致如下：映射 $a,f:[0,1]\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 连续，映射 $a(x,y,\cdot,\cdot)$ 与 $f(x,y,\cdot,\cdot)$ 为 $C^1$ 光滑，映射 $a(x,\cdot,u,u')$ 与 $f(x,\cdot,u,u')$ 为 1-周期，且映射 $a(x,y,u,\cdot)$ 关于 $x$、$y$ 和有界 $u$ 一致强单调且 Lipschitz 连续。不假设全局解唯一性。由于 $x$ 是一维的，无需校正项和单元问题。但因问题非线性，我们须关注均匀化与线性化的可交换性。证明的主要工具是一类隐函数定理型的抽象结果，该结果过去已被应用于奇异性扰动的 nonlinear ODE 以及椭圆与抛物型 PDE，因此允许对奇异性扰动问题与均匀化问题采用统一方法处理存在性与局部唯一性结果。