具有双幂非线性项和无穷远处零质量的标量场方程的多重变号解

我们考虑在 $\mathbb{R}^N$ 的外部区域 $\Omega$ 中的非线性椭圆方程 \begin{equation*} -\Delta u + V(x)u = f(u), \qquad u\in D^{1,2}_0(\Omega), \end{equation*} 其中 $V$ 是一个在无穷远处衰减至零的标量势，而非线性项 $f$ 在无穷远处是次临界的，在原点附近是超临界的。在弱对称性假设下，我们提供了保证该问题具有指定数量的变号解的条件。特别地，我们证明在维数 $N\geq 4$ 的情况下，存在许多具有有限对称性的外部区域示例，其中该问题具有预定数量的节点解。