非对称电磁场下非线性 Schrödinger 方程的无穷多解

本文研究具有非对称电磁场的非线性 Schrödinger 方程 $$\Big(\frac{\nabla}{i}-A_{\epsilon} x)\Big)^2 u+V_{\epsilon}(x)u=f(u),\ u\in H^1 (\mathbb{R}^N,\mathbb{C}),$$ 其中 $A_{\epsilon}(x)=(A_{\epsilon,1}(x),A_{\epsilon,2}(x),\cdots,A_{\epsilon,N}(x))$ 是满足 $A_{\epsilon,j}(x)(j=1,\ldots,N)$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 上实 $C^{1}$ 有界函数的磁场，$V_{\epsilon}(x)$ 为电势。两者均满足某些衰减条件，$f(u)$ 是满足某些非退化条件的非线性项。应用局部化能量方法，我们证明了存在某个 $\epsilon_{0 }> 0$，使得对于 $0 < \epsilon < \epsilon_{0 }$，上述问题存在无穷多个复值解。