非线性薛定谔方程：外磁场驱动的圆上聚集

在本文中，我们研究定态磁性非线性薛定谔方程的半经典极限 \begin{align}\label{eq:initialabstract}\left( i \hbar \nabla + A(x) \right)^2 u + V(x) u = |u|^{p-2} u, \quad x\in \mathbb{R}^{3},\end{align}其中 $p\textgreater{}2$，$A$ 是与给定磁场 $B$ 相关的矢量势，即 $\nabla \times A = B$，$V$ 是非负标量（电）势，可在原点奇异并在无穷远或紧集外消失。我们假设 $A$ 和 $V$ 满足柱对称性。通过精细的惩罚论证，我们证明了上述方程的半经典柱对称解的存在性，其模随着 $\hbar \to 0$ 聚集在一个圆周附近。我们强调该聚集是由磁势和电势驱动的。因此，我们的结果表明，在半经典极限下，若解的聚集发生在一条轨迹（而非单点）周围，磁场也会影响 $(\ref{eq:initialabstract})$ 解的位置。