非线性狄拉克方程半经典态的局域化集中现象

本文研究具有一般非线性自耦合的大质量狄拉克方程的半经典近似集中现象：$$-i\hbar\alpha\cdot\nabla w+a\beta w+V(x)w=g(|w|)w \,.$$ 与已有的一些研究相比，本文得到的最有趣的结果有两点：解集中在外势的局部极小值附近；以及非线性项被假定为在无穷远处是超线性或渐近线性的。由此可得，若存在 $k$ 个有界区域 $\Lambda_j\subset\mathbb{R}^3$ 使得 $-a<\min_{\Lambda_j} V=V(x_j)<\min_{\partial\Lambda_j}V$，$x_j\in\Lambda_j$，则当 $\hbar\to 0$ 时，$k$ 族解 $w_\hbar^j$ 分别集中在 $x_j$ 附近。证明依赖于变分方法：解被寻求为一个能量泛函的临界点。狄拉克算子具有上下均无界的连续谱，因此该能量泛函是强不定的。本文发展了一种惩罚技术来获得所需的解。