非线性 Choquard 方程的半经典态：存在性、多重性与势阱处的集中

我们研究非线性 Choquard 方程半经典态的存在性与多重性：$$-\varepsilon^2\Delta v+V(x)v = \frac{1}{\varepsilon^\alpha}(I_\alpha*F(v))f(v) \quad \hbox{in}\ \mathbb{R}^N,$$ 其中 $N\geq 3$，$\alpha\in (0,N)$，$I_\alpha(x)={A_\alpha\over |x|^{N-\alpha}}$ 是 Riesz 势，$F\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$，$F'(s) = f(s)$ 且 $\varepsilon>0$ 是一个小参数。我们发展了一种新的变分方法，并证明了在关于 $F(s)$ 的一般条件下，存在一族解在 $\varepsilon\to 0$ 时集中到 $V(x)$ 的局部极小值处。我们的结果对于 $f(s)=|s|^{p-2}s$ 也是新的，且适用于 $p\in (\frac{N+\alpha}{N}, \frac{N+\alpha}{N-2})$。特别地，我们可以给出局部次线性情形 $p\in (\frac{N+\alpha}{N}, 2)$ 的存在性结果，这肯定地回答了 Moroz 和 Van Schaftingen 近期工作中提出的一个公开问题。我们还研究了正单峰解的多重性，并证明了当 $\varepsilon\to 0$ 时至少存在 $\hbox{cupl}(K)+1$ 个解集中在 $K$ 附近，其中 $K\subset \Omega$ 是 $V(x)$ 在有界势阱 $\Omega$ 中的极小值集，即 $m_0 \equiv \inf_{x\in \Omega} V(x) < \inf_{x\in \partial\Omega}V(x)$ 且 $K=\{x\in\Omega;\, V(x)=m_0\}$。