具局部势的薛定谔-泊松系统解的存在性与聚集性

本文研究如下非线性薛定谔-泊松型方程 \begin{equation*} \begin{cases} -\varepsilon^2\Delta u+V(x)u+K(x)\phi u=f(u)&\text{in}\ \mathbb{R}^3,\\ -\varepsilon^2\Delta \phi=K(x)u^2&\text{in}\ \mathbb{R}^3, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\varepsilon>0$ 为小参数，$V: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ 为连续势，$K: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ 用于描述电子电荷。在对 $V(x), K(x)$ 和 $f$ 的适当假设下，我们证明了 $\varepsilon>0$ 较小时基态解的存在性与聚集性质。此外，我们总结了薛定谔-泊松系统的一些开放问题。