分数对数 Schrödinger-Poisson 系统多重解的存在性与集中现象：基于惩罚法

本文研究如下形式的分数对数 Schrödinger-Poisson 系统多重解的存在性：\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n\varepsilon^{2\alpha}(-\Delta)^{\alpha}u + V(x)u + \phi u = u\log u^2 + u^{q-1}, & \text{in } \mathbb{R}^3, \\\n\varepsilon^{2\alpha}(-\Delta)^{\alpha}\phi = u^2, & \text{in } \mathbb{R}^3.\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $\varepsilon>0$ 为小参数，$q\in(4,2_\alpha^*)$，$\alpha\in(\frac{3}{4},1)$，$V:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 是满足某些局部势假设的连续函数。通过引入一个新的 Banach 空间，能量泛函成为 $C^{1}$，从而为研究涉及 Lusternik-Schnirelmann 范畴的解的多重性创造了条件。我们证明，对于充分小的 $\varepsilon>0$，该系统存在一个正基态解，且每个正解都集中在 $V$ 的局部极小点附近。