关于一类含非径向电荷密度的非线性 Schrödinger-Poisson 系统

秉承 P. H. Rabinowitz 关于非线性 Schrödinger 方程的经典工作精神，我们在无穷远处对 $\rho: \mathbb R^3\rightarrow \mathbb R_+$ 的不同假设下，证明了非线性 Schrödinger-Poisson 系统 \begin{equation}\nonumber \left\{\begin{array}{lll} - \Delta u+ u + \rho (x) \phi u = |u|^{p-1} u, \qquad &x\in \mathbb R^3, \,\,\, -\Delta \phi=\rho(x) u^2,\ & x\in \mathbb R^3, \end{array} \right. \end{equation} 的山路解和最小能量解的存在性。我们的结果涵盖了 $p\in(2,3)$ 的范围，在此范围内，紧致性的缺失现象可能归因于无穷远处“极限问题”的平移不变性与 Palais-Smale 序列可能的无界性的综合效应。此外，我们在适用于变分法和扰动方法的各种泛函框架下，找到了奇异摄动问题 \begin{equation}\nonumber \left\{\begin{array}{lll} - \epsilon^2\Delta u+ u + \rho (x) \phi u = |u|^{p-1} u, \qquad &x\in \mathbb R^3, \,\,\, -\Delta \phi=\rho(x) u^2,\ & x\in \mathbb R^3, \end{array} \right. \end{equation} 的解在点处发生集中的必要条件。