具有部分约束的非线性薛定谔方程组驻波的存在性与轨道稳定性

我们关注 $\mathbb{R}^3$ 中如下非线性薛定谔方程组的解的存在性：\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u_1 + (x_1^2+x_2^2)u_1&= \lambda_1 u_1 + \mu_1 |u_1|^{p_1 -2}u_1 + \beta r_1|u_1|^{r_1-2}u_1|u_2|^{r_2}, \\ -\Delta u_2 + (x_1^2+x_2^2)u_2&= \lambda_2 u_2 + \mu_2 |u_2|^{p_2 -2}u_2 +\beta r_2 |u_1|^{r_1}|u_2|^{r_2 -2}u_2, \end{aligned} \right. \end{equation*} 在约束 \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^3}|u_1|^2 \, dx = a_1>0,\quad \int_{\mathbb{R}^3}|u_2|^2 \, dx = a_2>0, \end{align*} 下，其中 $\mu_1, \mu_2, \beta >0, 2 <p_1, p_2 < \frac{10}{3}$，$r_1, r_2>1, r_1 + r_2 < \frac{10}{3}$。在该系统中，参数 $\lambda_1, \lambda_2 \in \R$ 未知，并作为相关的拉格朗日乘子出现。我们的解是实现为受约束的底层能量泛函的全局极小化子。我们的目的是建立任意极小化序列在平移意义下的紧性。作为副产品，我们得到了全局极小化子集合的轨道稳定性。