非线性薛定谔系统驻波的存在性与轨道稳定性

本文研究了形式为 $$\left\{ \begin{aligned} -\Delta u_1 &= \lambda_1 u_1 + \mu_1 |u_1|^{p_1 -2}u_1 + r_1\beta |u_1|^{r_1-2}u_1|u_2|^{r_2}, \\ -\Delta u_2 &= \lambda_2 u_2 + \mu_2 |u_2|^{p_2 -2}u_2 + r_2 \beta |u_1|^{r_1}|u_2|^{r_2 -2}u_2, \end{aligned} \right.$$ 的非线性薛定谔系统在约束 $$\int_{R^N}|u_1|^2 \, dx = a_1>0,\quad \int_{R^N}|u_2|^2 \, dx = a_2>0.$$ 下于 $H^1(R^N) \times H^1(R^N)$ 中的解的存在性。此处 $N \geq 1, \beta >0, \mu_i >0, r_i >1, 2 <p_i < 2 + \frac{4}{N}$（$i=1,2$）且 $r_1 + r_2 < 2 + \frac{4}{N}$。该问题源于寻找若干物理模型中出现的演化问题的驻波。我们的解作为关联泛函的约束全局极小元获得。注意在系统中 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 未知，并将对应于拉格朗日乘子。我们的主要结果是极小化序列经平移后的预紧性，并由此得到与极小元集合相关的驻波的轨道稳定性。