混合色散非线性薛定谔方程的轨道稳定驻波

我们研究混合色散四阶非线性薛定谔方程 \begin{equation*} i \partial_t \psi -\gamma \Delta^2 \psi +\beta \Delta \psi +|\psi|^{2\sigma} \psi =0\ \text{in}\ \R \times\R^N, \end{equation*} 其中 $\gamma,\sigma>0$ 且 $\beta \in \R$。我们关注驻波解，即形如 $\psi (x,t)=e^{i\alpha t}u(x)$ 的解，其中某个 $\alpha \in \R$。该拟设导出四阶椭圆方程 \begin{equation*} \gamma \Delta^2 u -\beta \Delta u +\alpha u =|u|^{2\sigma} u. \end{equation*} 我们考虑两个相关的约束极小化问题：一个约束在 $L^2$ 范数上，另一个约束在 $L^{2\sigma +2}$ 范数上。在适当条件下，我们建立极小元的存在性，并研究其定性性质，即其符号、对称性与无穷远处的衰减，以及其唯一性、非退化性与轨道稳定性。