关于X射线自由电子激光薛定谔方程的驻波

本文研究以下非线性薛定谔方程的驻波：$$i\partial_{t}\psi=-\Delta \psi+b^2(x_1^2+x_2^2)\psi+\frac{\lambda_1}{|x|}\psi+ \lambda_2(|\cdot|^{-1}\ast |\psi|^2)\psi- \lambda_3|\psi|^p \psi,~~~ (t,x)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^3,$$ 其中 $0<p<4$。我们主要研究该方程驻波的存在性和稳定性/不稳定性，分两种情况：第一种情况不涉及磁势（即方程中 $b=0$），第二种情况 $b\neq 0$。具体而言，在第一种情况下，通过考虑一个合适的Pohozaev流形上的极小化问题，我们证明了基态的存在性，并进一步证明所有基态驻波在有限时间内通过爆破是强不稳定的。此外，利用其证明思想，我们能够证明归一化解的存在性和不稳定性，与现有文献中对归一化解的研究相比，其证明似乎是新的。在第二种情况下，由于增加了部分调和势项，处理起来更加困难。我们设法证明了当 $p\in (0,4)$ 且对系数有一定假设时稳定驻波的存在性，其中当 $p\in (0,\frac{4}{3}]$ 时解作为全局极小元获得，当 $p\in [\frac{4}{3}, 4)$ 时解作为局部极小元获得。在质量临界和超临界情形 $p\in [\frac{4}{3}, 4)$ 下，我们在一个既非Nehari型也非Pohozaev型的合适流形上建立了基态的变分刻画，然后证明了基态的存在性。最后，在对 $\omega$ 和 $p$ 的某些假设下，我们证明了基态驻波是强不稳定的。