二次相互作用双波模型驻波的存在性与不稳定性

本文在高维空间质量共振条件下，建立了二次相互作用双波模型中出现的非线性薛定谔方程组的驻波存在性与不稳定性。此处我们消除了文献 [HOT] 中给出的复常数 $a_{1}$ 与 $a_{2}$ 之间关系的限制，并考虑任意实正常数 $a_{1}$ 和 $a_{2}$。首先，根据质量与能量的守恒恒等式，利用所谓的 virial 型估计，我们得到所考虑的柯西问题的解在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})\times H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中于空间维数 $N\geq 4$ 时在有限时间内爆破。其次，对于空间维数 $N$ 满足 $4<N<6$，我们通过变分法建立了对应于该非线性薛定谔方程在频率与质量共振下椭圆方程的基态解存在性，并进一步得到基态在无穷远处的指数衰减。这意味着所考虑的非线性薛定谔方程驻波的存在性。最后，通过定义另一类针对一对复值函数的约束极小问题、合适的流形、参照驻波刻画、作适当缩放并采用 virial 型估计，借助质量与能量守恒，我们得到了方程在频率与质量共振下空间维数 $N$ 满足 $4<N<6$ 时驻波的不稳定性。此处我们采用分别针对复值与实值函数对 $(u,v)$ 定义的两类约束极小问题在 $(u,v)$ 为实值函数对时的等价性。