关于一个与四阶非线性薛定谔方程相关的最小化问题的若干注记

设$\gamma > 0\,$, $\beta > 0\,$, $\alpha > 0$且$0 < \sigma N < 4$。在本文中，对给定的$c > 0$，我们研究约束最小化问题\begin{equation*} \label{MinL2fixed} m(c):=\inf_{u\in S (c) }E(u), \end{equation*}其中\begin{equation*} E (u):=\frac{\gamma}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\Delta u|^2\, dx -\frac{\beta}{2}\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\, dx-\frac{\alpha}{2\sigma+2}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2\sigma+2}\, dx, \end{equation*}且\begin{equation*} S(c):=\left\{u\in H^2(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2}\, dx=c\right\}. \end{equation*}我们研究的目的是双重的。一方面，该最小化问题与混合色散非线性双调和薛定谔方程\begin{equation*} i \partial_t \psi -\gamma \Delta^2 \psi - \beta \Delta \psi + \alpha |\psi|^{2\sigma} \psi =0, \quad \psi (0, x)=\psi_0 (x),\quad (t, x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N. \end{equation*}的驻波存在性与轨道稳定性相关。另一方面，在P.-L. Lions的集中紧致原理的大部分应用中，困难部分在于处理极小化序列可能的二分性。所考虑的问题提供了一个例子：排除二分性是相当标准的，而排除消失性(此处对小的$c > 0$)却是具有挑战性的。我们还给出了在极限$c \to 0$下极小值的精确行为描述。最后，提出了一些推广与开放问题。