带势的非线性 Schrödinger 系统极小化序列的紧性

在本文中，我们考虑具有两个约束的以下极小化问题： $$\inf \left\{ E(u) | u=(u_1,u_2), \ \| u_1 \|_{L^2}^2 = \alpha_1, \ \| u_2 \|_{L^2}^2 = \alpha_2 \right\},$$ 其中 $\alpha_1,\alpha_2 > 0$，且 $E(u)$ 定义为 $$E(u) := \int_{\mathbf{R}^N} \left\{\frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 \left( |\nabla u_1|^2 + V_i (x) |u_i|^2 \right) - \sum_{i=1}^2 \frac{\mu_i}{2p_i+2} |u_i|^{2p_i+2} - \frac{\beta}{p_3+1} |u_1|^{p_3+1} |u_2|^{p_3+1} \right\} \mathrm{d} x.$$ 这里 $N \geq 1$，$\mu_1,\mu_2,\beta > 0$，且 $V_i(x)$ $(i=1,2)$ 是给定的函数。对于 $V_i(x)$，我们考虑两种情形：(i) $V_1$ 和 $V_2$ 均有界，(ii) $V_1$ 和 $V_2$ 之一有界。在对 $V_i$ 和 $p_j$ 的一些假设下，我们讨论了任意极小化序列的紧性。