薛定谔-牛顿系统的交织半经典解

我们研究问题 (-\epsilon\mathrm{i}\nabla+A(x)) ^{2}u+V(x)u=\epsilon ^{-2}(\frac{1}{|x|}\ast|u|^{2}) u, u\in L^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{C}),\text{\ \ \ \}\epsilon\nabla u+\mathrm{i}Au\in L^{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{C}^{3})，其中 A\colon\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3} 是一个外部磁势，V\colon\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R} 是一个外部电势，\epsilon 是一个小的正数。如果 A=0 且 \epsilon=\hbar 是普朗克常数，该问题等价于 Penrose 在文献[pe2]中提出的薛定谔-牛顿方程，用以描述他关于量子态约化因某种引力效应而发生的观点。我们假设 A 和 V 与 \mathbb{R}^{3} 的线性等距群 G 的作用相容。那么，对于任何给定的到单位复数的同态 \tau:G\rightarrow\mathbb{S}^{1}，我们证明对称性和势 V 对满足 u(gx)=\tau(g)u(x)（对所有 g\in G, x\in\mathbb{R}^{3}）的半经典解 u:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{C} 的数量存在组合效应。我们还研究了当 \epsilon\rightarrow0 时这些解的集中行为。