具有非对称势的非线性 Schrödinger 方程的无穷多正解

我们考虑非线性 Schrödinger 方程的驻波问题，该问题对应于半线性椭圆问题 \begin{equation*} -\Delta u+V(x)u=|u|^{p-1}u,\ u\in H^1(\mathbb{R}^2), \end{equation*} 其中 $V(x)$ 是一致正势且 $p>1$。假设 \begin{equation*} V(x)=V_\infty+\frac{a}{|x|^m}+O\Big(\frac{1}{|x|^{m+\sigma}}\Big),\ \text{as}\ |x|\rightarrow+\infty, %\tag{$V2$} \end{equation*} 例如当 $p>2$，$m>2$ 且 $\sigma>1$ 时，我们证明了无穷多正解的存在性。如果 $V(x)$ 是径向对称的，该结果已在 \cite{WY-10} 中得到证明。无对称性的证明要困难得多，为此我们开发了一种新的{\em 中间 Lyapunov-Schmidt 约化方法}，它是该方法有限维和无限维版本之间的折衷方案。