分数阶非线性 Schr\"{o}dinger 方程的无穷多解

本文考虑分数阶 Schr\"{o}dinger 方程 \begin{equation}\label{abstract} (-\Delta)^s u + V(|x|)u-u^p=0, \quad u>0, \quad u\in H^{2s}(\R^N) \end{equation} 其中 $0<s<1$，$1<p<\frac{N+2s}{N-2s}$，$V(|x|)$ 为正势函数且 $N\geq 2$。我们证明，若 $V(|x|)$ 具有如下展开式：$$V(|x|)=V_0 + \frac{a}{|x|^m} + o\left(\frac{1}{|x|^m}\right) \qquad \mbox{as} \ |x| \rightarrow +\infty,$$ 其中常数假设得当，则 (\ref{abstract}) 存在无穷多个非径向解，其能量可任意大。这是关于分数阶 Schr\"{o}dinger 方程的首个结果。$s=1$ 的情形对应于 Wei-Yan \cite{WY} 中的已知结果。