超临界分数阶 Schrödinger 方程的束缚态解

我们证明超临界非线性分数阶 Schrödinger 方程 $(-\Delta)^s u+V(x)u-u^p=0$ 在 $\mathbb R^n$ 中正解的存在性，其中 $u(x)\to 0$ 当 $|x|\to +\infty$，且对 $s\in (0,1), \ n>2s$ 有 $p>\frac{n+2s}{n-2s}$。我们证明若 $V(x)=o(|x|^{-2s})$ 当 $|x|\to +\infty$，则对 $p>\frac{n+2s-1}{n-2s-1}$，该问题有一连续统的解。更一般地，对 $p>\frac{n+2s}{n-2s}$，亦给出可解性条件。该结果是 Davila、Del Pino、Musso 与 Wei 工作到分数阶情形的推广。我们的主要贡献是：存在 $\mathbb R^n$ 中 $(-\Delta)^s w=w^p$ 的光滑、径向对称、整体解，并分析其性质。此处困难在于缺乏针对非局部 ODE 的相平面分析；作为替代，我们使用共形几何方法并结合 Schaaf 的论证，如 Ao、Chan、DelaTorre、Fontelos、González 与 Wei 关于奇异分数阶 Yamabe 问题的论文中所用。