伪相对论Hartree方程的存在性与质量集中

在本文中，我们研究约束极小化问题 \begin{equation}\label{eq:0.1} e(a):=\inf_{\{u\in \mathcal{H},\|u\|_2^2=1\}}E_a(u), \end{equation} 其中能量泛函 \begin{equation} \label{eq:0.2} E_a(u)=\int_{\mathbb{R}^3}(u\sqrt{-\Delta+m^2}\,u+Vu^2)\,dx -\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^3}(|x|^{-1}*u^2)u^2\,dx \end{equation} 其中 $m\in \mathbb{R}$, $a>0$，定义在Sobolev空间 $\mathcal{H}$ 上。我们证明存在阈值 $a^*>0$，使得当 $0<a<a^*$ 时 $e(a)$ 能被取到，而当 $a\geq a^*$ 时无极小元。我们还研究了 $e(a)$ 的非负极小元当 $a\to a^*$ 时的渐近行为。