具有近质量临界指数的非线性 Hartree 型方程的集中行为

我们研究如下非线性 Hartree 型方程 \begin{equation*} -\Delta u+V(x)u-a(\frac{1}{|x|^\gamma}\ast |u|^2)u=\lambda u,~\text{in}~\mathbb{R}^N, \end{equation*} 其中 $a>0$，$N\geq3$，$\gamma\in(0,2)$ 且 $V(x)$ 为外势。我们首先研究当 $V(x)\equiv1$、$a=1$ 且 $\lambda=0$ 时，方程基态在 $\gamma\nearrow2$ 时的渐近行为。然后我们考虑某些俘获势 $V(x)$ 的情形，并证明当 $\gamma\nearrow2$ 时，基态的所有质量集中于 $V(x)$ 的一个全局最小点，从而导致对称性破缺。此外，将给出基态最大值点的集中速率。