一类具有临界增长的不定变分问题的存在性与集中现象

本文致力于证明以下一类问题的基态解的存在性与集中性 $$-\Delta u+V(x)u=A(\epsilon x)f(u), \quad x \in \R^{N}, \eqno{(P)_{\epsilon}}$$ 其中 $N \geq 2$，$\epsilon>0$，$A:\R^{N}\rightarrow\R$ 是满足 $$0<\inf_{x\in\R^{N}}A(x)\leq\lim_{|x|\rightarrow+\infty}A(x)<\sup_{x\in\R^{N}}A(x)=A(0),\eqno{(A)}$$ 的连续函数，$f:\R\rightarrow\R$ 是具有临界增长的连续函数，$V:\R^{N}\rightarrow\R$ 是连续且 $\Z^{N}$ 周期的函数，且 $0\notin\sigma(\Delta+V)$。利用变分法，我们证明了当 $\epsilon$ 足够小时解的存在性。此后，我们证明解的最大值点集中于 $A$ 的某最大值点附近。