聚焦广义 Hartree 方程解的全局行为

我们研究非线性广义 Hartree 方程解的全局行为,其中非线性为非局部类型并表示为卷积,$$i u_t + \Delta u + (|x|^{-(N-\gamma)} \ast |u|^p)|u|^{p-2}u=0, \quad x \in \mathbb{R}^N, t\in \mathbb{R}.$$ 我们的主要目标是理解该方程在各种情形下的 $H^1$(有限能量)解的行为。在这项工作中我们朝此目标做了初步尝试。我们首先研究 $H^1$ 局部适定性与小数据理论。然后,在临界间区域($0<s<1$)下,我们在质量-能量假设 $\mathcal{ME}[u_0]<1$ 下对 $H^1$ 解的行为进行分类,通过相应的卷积型 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式的尖锐常数(注意基态的唯一性在一般情形未知)识别出整体解与有限时间解的尖锐阈值。特别地,依赖于初始质量与梯度的尺度,解要么整体存在并在 $H^1$ 中散射,要么在有限时间内爆破或沿无穷时间序列发散。为了获得 $H^1$ 散射或发散至无穷,本文我们采用 Kenig-Merle [36] 著名的集中紧致与刚性方法,其新颖之处在于研究通过 $|x|$ 的负幂次及包含分数幂的非线性的卷积给出的非局部非线性势。