广义 Hartree 方程的适定性与爆破问题

我们研究广义 Hartree 方程,这是一种具有非局部势的非线性 Schrödinger 型方程 $iu_t + \Delta u + (|x|^{-b} \ast |u|^p)|u|^{p-2}u=0, x \in \mathbb{R}^N$。我们在非守恒临界正则性 $\dot{H}^{s_c}$($s_c \geq 0$)下建立了局部适定性,这也包含了能量超临界情形 $s_c>1$(从而补充了文献[3]中的工作,其中作者在区间临界情形下获得了 $H^1$ 适定性,并在质量-能量阈值下对解进行了分类)。我们接着将局部理论推广到整体:对于小数据我们得到了整体时间存在性,而对于具有正能量和特定方差大小的初值数据我们证明了有限时间爆破(爆破判据)。这两个结果均不依赖于方程的临界性。在区间临界情形下,该判据产生了初值高于质量-能量阈值的爆破解。我们以展示当前已知的全局与有限时间行为阈值的例子作为结束。