关于临界情形下非齐次 Hartree 方程适定性的研究

我们研究非齐次 Hartree 方程 $i\partial_t u + \Delta u = \lambda(I_\alpha \ast |\cdot|^{-b}|u|^p)|x|^{-b}|u|^{p-2}u$ 在 $H^s$, $s\ge0$ 中的适定性。直到最近,其适定性理论已被深入研究,重点在于解决临界指数 $p=1+\frac{2-2b+\alpha}{n-2s}$ 且 $0\le s \le 1$ 的情形,但 $1/2\leq s \leq 1$ 的情形仍是一个开放问题。在本文中,我们发展了该情形下的适定性理论,特别包含了能量临界情形。为此,我们基于 Sobolev-Lorentz 空间来处理该问题,这能使我们对该方程进行更精细的分析。这是因为它使得我们能够更有效地控制涉及奇异性 $|x|^{-b}$ 以及 Riesz 势 $I_\alpha$ 的非线性项。