带反平方势的能临界非齐次广义 Hartree 方程

本文研究带反平方势的能临界非齐次 Hartree 方程的 Cauchy 问题 $$i\partial_t u-\mathcal K_\lambda u=\pm |x|^{-\tau}|u|^{p-2}(I_\alpha *|\cdot|^{-\tau}|u|^p)u, \quad \mathcal K_\lambda=-\Delta+\frac\lambda{|x|^2}$$ 在能量空间 $H_\lambda^1:=\{f\in L^2,\quad\sqrt{\mathcal{K}_\lambda}f\in L^2\}$ 中。本文建立了适定性理论并研究了 $H_\lambda^1$ 中解的爆破。进一步，我们在基态阈值下给出解的能量有界与非整体存在之间的二歧性。为此，我们使用 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 加权插值不等式以及考虑 $\mathcal K_\lambda$ 的某些等价范数，从而得以控制涉及奇性 $|x|^{-\tau}$ 与非齐次项的非线性项以及反平方势。新颖之处在于对仍属开放问题的能临界情形的探究，其挑战在于处理三个技术难题：非局部源项、非齐次奇异项 $|\cdot|^{-\tau}$，以及反平方势的存在。