关于 $H^{s}$ 临界非齐次非线性薛定谔方程的一个注记

本文中，我们考虑 $H^{s}$ 临界非齐次非线性薛定谔（INLS）方程的柯西问题 $$iu_{t} +\Delta u=\lambda |x|^{-b} f(u),\; u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{n}),$$ 其中 $n\in \mathbb N$，$0\le s<\frac{n}{2}$，$0<b<\min \left\{2,\;n-s,\; 1+\frac{n-2s}{2} \right\}$ 且 $f(u)$ 是一个非线性函数，其行为类似于 $\lambda |u|^{\sigma } u$，其中 $\lambda \in \mathbb C$ 且 $\sigma=\frac{4-2b}{n-2s}$。首先，我们利用基于 Sobolev-Lorentz 空间上 Strichartz 估计的压缩映射原理，建立了 $H^{s}$ 临界 INLS 方程在 $H^{s}(\mathbb R^{n})$ 中的局部适定性和小数据全局适定性。接着，我们获得了 $H^{s}$ 临界 INLS 方程的一些标准连续依赖性结果。我们关于 $H^{s}$ 临界 INLS 方程的适定性和标准连续依赖性结果改进了 Aloui-Tayachi [Discrete Contin. Dyn. Syst. 41 (11) (2021), 5409-5437] 的结果，扩展了 $s$ 和 $b$ 的适用范围。基于 $H^{1}(\mathbb R^{n})$ 中的局部适定性，我们最终建立了聚焦能量临界 INLS 方程 $H^{1}$ 解的爆破准则。特别地，我们证明了具有有限方差、径向对称或柱对称初值的解在有限时间内爆破。