Sobolev-Lorentz 空间及其在非齐次双调和 NLS 方程中的应用

我们考虑非齐次双调和非线性薛定谔（IBNLS）方程的柯西问题 $$iu_{t} +\Delta^{2} u=\lambda |x|^{-b}|u|^{\sigma}u,\;u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{d}),$$ 其中 $\lambda\in \mathbb R$，$d\in \mathbb N$，$0\le s<\min\left\{2+\frac{d}{2},d\right\}$，$0<b<\min \left\{4,\; d-s,\; 2+\frac{d}{2}-s \right\}$ 且 $0<\sigma\le \sigma_{c}(s)$，其中 $\sigma<\infty$。这里若 $s<\frac{d}{2}$ 则 $\sigma_{c}(s)=\frac{8-2b}{d-2s}$，若 $s\ge \frac{d}{2}$ 则 $\sigma_{c}(s)=\infty$。首先，我们给出关于 Sobolev-Lorentz 空间的一些注记，并将 [Discrete Contin. Dyn. Syst. 41 (2021) 5409-5437] 所建立的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{s/2}$（$s\in (0,1]$）在 Lorentz 范数下的链式法则推广到任意 $s>0$。应用该估计以及基于 Lorentz 空间中 Strichartz 估计的压缩映射原理，我们随后在次临界情形 $\sigma<\sigma_{c}(s)$ 与临界情形 $\sigma=\sigma_{c}(s)$ 下均建立了 IBNLS 方程在 $H^{s}$ 中的局部适定性。我们还证明，若初值数据足够小且 $\frac{8-2b}{d}\le \sigma\le \sigma_{c}(s)$（其中 $\sigma<\infty$），则 IBNLS 方程在 $H^{s}$ 中整体适定。