广义 Hartree 方程在 $L^2$ 临界与 $L^2$ 超临界情形下的稳定爆破解动力学

我们研究具有径向对称性的广义 Hartree 方程中的稳定爆破解动力学，这是一种带非局部卷积型非线性的薛定谔型方程：$iu_t+\Delta u +\left(|x|^{-(d-2)} \ast |u|^{p} \right) |u|^{p-2}u = 0, x \in \mathbb{R}^d$。首先，我们考虑维度 d=3, 4, 5, 6, 7 下的 $L^2$ 临界情形，得到一类通用爆破具有自相似结构，并不仅展现出平方根爆破速率，还呈现出 log-log 修正（通过渐近分析与函数拟合）。在此设定下，我们还研究了爆破剖面，并证明通用爆破解收敛于重标度的 $Q$，即椭圆方程 $-\Delta Q+Q- \left(|x|^{-(d-2)} \ast |Q|^p \right) |Q|^{p-2} Q =0$ 的基态解。我们还考虑了维度 d=3,4 下的 $L^2$ 超临界情形。我们推导出自相似爆破的剖面方程，并确立其解的存在性与局部唯一性。如同 NLS 的 $L^2$ 超临界区域，该剖面方程展现出非振荡、多项式衰减（多峰）解的分支。在寻找多峰解的过程中，采用了将约束代入相应 ODE 求解的数值格式。借助动态重标度法对广义 Hartree 方程解的直接数值模拟表明，$Q_{1,0}$ 是稳定爆破的剖面。在此超临界情形下，我们得到了无任何修正的爆破速率。该爆破发生在 $10^{-5}$ 的聚焦水平上，因此可在数值上观测到（不同于 $L^2$ 临界情形）。总之，我们发现结果与相应 NLS 设定中稳定爆破动力学的行为相似。由此可预期，薛定谔型方程中非线性项的形式在稳定爆破中并非本质。