双调和非线性薛定谔方程的奇异解

我们考虑双调和NLS的奇异解。在$L^2$临界情形下，爆破速率受四次方根幂律约束，解趋近于自相似轮廓，且不少于临界功率的有限$L^2$范数集中到奇点（“强坍缩”）。在$L^2$临界和超临界情形下，我们使用渐近分析和数值模拟来表征具有峰值型自相似坍缩核心的奇异解。在临界情形下，爆破速率略快于四次方根，自相似轮廓由驻波基态给出。在超临界情形下，爆破速率恰好是四次方根，自相似轮廓是非线性特征值问题的零哈密顿量解。这些发现通过自适应网格方法在数值上得到验证（聚焦水平高达$10^8$）。我们还计算了二维和三维中驻波方程的基态以及坍缩的临界功率。