1 维双调非线性 Schrödinger 方程解的动力学

我们考虑一维的 4 阶，即双调的非线性 Schrödinger（NLS）方程，即 i u_t - Delta^2 u - 2a Delta u + |u|^alpha u = 0, x,a 在 R, alpha>0，研究其解的动力学，包括 ground state 解及其扰动，导致当 a <= 0 时出现散射或 blow-up 的二分图，或在 a>0 时出现 trichotomy。数值上构造了 ground state 解，并研究了其稳定性，发现 ground state 解可能形成两个分支：稳定和不稳定，这决定了解的长期行为。对不稳定分支上 ground state 的扰动要么导致离散，要么跳到稳定的 ground state。在临界和超临界情况下，还研究了有限时间内的 blow-up，推测 blow-up 以尺度不变的 profile 进行（当 a=0 时）， regardless of lower dispersion 的 a 值。还探讨了 blow-up 的速率。