非线性薛定谔方程的重整化与爆破
偏微分方程分析
2025-04-11 v1
摘要
经典一维非线性薛定谔方程（NLS）(1) i \partial_t u + u_{x x} + |u|^{2r} u = 0, u(x,0) = u_0(x) 有限时间爆破的存在性一直是偏微分方程奇异性形成研究的核心问题之一。我们采用基于动力系统思想的方法重新审视该问题。为此，我们将 (1) 的初值问题（其中 r \in \mathbb{N}, r \ge 1）重新表述为某个重整化算子的不动点问题，并利用先验界的思想证明重整化不动点的存在性。此类不动点的存在性导致存在自相似解，形式为 u(x,t) = (T-t)^{-{1 \over 2 r}} U((T-t)^{-{1 \over 2}} x)，其 L^{2 r +2} 范数在有限时间 T 之前有界，而能量在 T 时刻爆破。
引用
@article{arxiv.2504.07755,
title = {Renormalization and blow ups for the nonlinear Schr\"odinger equation},
author = {Denis Gaidashev},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.07755},
year = {2025}
}