具有复系数的四阶 Schrödinger 方程的局部适定性与有限时间爆破

我们考虑四阶 Schrödinger 方程 $$i\partial_tu+\Delta^2 u+\mu\Delta u+\lambda|u|^\alpha u=0,$$ 其中 $\alpha>0,\mu=\pm1$ 或 $0$，且 $\lambda\in\mathbb{C}$。首先，我们在 $H^4\left(\R^N\right)$ 中证明 $H^4$ 次临界与临界情形：$\alpha>0$，$(N-8)\alpha\leq8$ 下的局部适定性。进而，对任意给定的紧集 $K\subset\mathbb{R}^N$，我们构造定义于 $(-T, 0)$（某 $T>0$）上的 $H^4(\R^N)$ 解，并在 $t=0$ 时恰于 $K$ 上爆破。