具有陡势阱的质量临界 Hartree 最小化问题的极限行为

我们考虑以下质量临界 Hartree 最小化问题的极小元：$$e_\lambda(N):=\underset{\{u\in H^1(R^d),\,\|u\|^2_2=N\}}{\inf} E_\lambda(u),\,\ d\ge 3,$$ 其中 Hartree 能量泛函 $E_\lambda(u)$ 定义为 $$E_\lambda(u):=\int_{R ^d}|\nabla u(x)|^2dx+\lambda \int_{R ^d}g(x)u^2(x)dx-\frac{1}{2} \int_{R ^d}\int_{R ^d} \frac{u^2(x)u^2(y)}{|x-y|^2}dxdy,\,\ \lambda>0,$$ 且陡势 $g(x)$ 满足 $0=g(0)=\inf _{R^d}g(x)\le g(x)\le 1$ 和 $1-g(x)\in L^{\frac{d}{2}}(R^d)$。我们证明存在一个与 $\lambda g(x)$ 无关的常数 $N^*>0$，使得如果 $N\ge N^*$，则 $e_\lambda(N)$ 对任何 $\lambda >0$ 都不存在极小元；如果 $0<N<N^*$，则存在一个常数 $\lambda ^*(N)>0$，使得 $e_\lambda(N)$ 对任何 $\lambda >\lambda ^*(N)$ 存在极小元，而对 $0<\lambda <\lambda ^*(N)$ 不存在极小元。对于任意给定的 $0<N<N^*$，我们还研究了当 $\lambda\to\infty$ 时 $e_\lambda(N)$ 正极小元的极限行为，其中质量集中在 $g(x)$ 的底部。