Hartree 型 Br\'ezis-Nirenberg 问题特征值问题的定性分析

本文关注临界 Hartree 方程 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=\left(\displaystyle{\displaystyle{\int_{\Omega}}}\frac{u^{2^{*}_{\mu}}(y)}{|x-y|^{\mu}}dy\right)u^{2^{*}_{\mu}-1}+\varepsilon u,\quad u>0,\quad &\text{in $\Omega$,}\\ u=0,\quad &\text{on $\partial\Omega$,} \end{cases} \end{equation*} 其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ ($N\geq 5$) 是有界光滑区域，$\mu\in (0,4)$ 且 $2^{*}_{\mu}=\frac{2N-\mu}{N-2}$ 是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的上临界指数。在 Robin 函数 $R(x)$ 的临界点 $x_0\in\Omega$ 满足非退化条件的假设下，我们证明了对于充分小的 $\varepsilon>0$，集中在 $x_0$ 处的爆破解 $u_\varepsilon$ 的 Morse 指数可以用 $x_0$ 处 Hessian 矩阵 $D^{2}R(x)$ 的负特征值来计算。与通常的局部情形相比，由于 Hartree 型非线性，我们的问题是非局部的，因此出现了一些困难，需要引入针对 $u_{\varepsilon}$ 处相关线性化问题的特征对 $\{\left(\lambda_{i,\varepsilon},v_{i,\varepsilon}\right)\}$ 的新估计。据我们所知，这似乎是第一篇考虑 Hartree 型 Br\'ezis-Nirenberg 问题定性分析的论文，我们的结果将 M. Grossi 等人在 \cite{GP} 和 F. Takahashi 在 \cite{Ta3} 中建立的工作推广到了非局部情形。